
%!TEX program = xelatex
%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode

\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm}   % This is your set screw

%%文档的题目、作者与日期
\author{王立庆（2022级数学与应用数学1班） }%、2022级应用统计专业1-4班}
\title{高等代数(二)：教案}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

%\newpage
\setcounter{tocdepth}{1}
\renewcommand\contentsname{目录}
\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.1)一元多项式的定义和运算}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：数环上的一元多项式，一元多项式的加法、减法、乘法。
\item 重点：有关一元多项式的次数的一个定理。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  什么是数环？
\item  什么时候称两个多项式相等？
\item  两个多项式的和、差、积是怎样定义的？
\item  什么是数环 $R$ 上的字母 $x$ 的一元多项式环？
\item  {\color{red}定理2.1.1. }
    \begin{enumerate}
    \item  两个多项式的和多项式的次数，不会超过这两个多项式的次数的较大值。
    \item  两个多项式的积多项式的次数，等于这两个多项式的次数的和。
    \end{enumerate}

\item  {\color{red}推论2.1.1.} 两个多项式的乘积如果是零多项式，那么其中至少有一个是零多项式。

\item  {\color{red}定义}：集合 $R[x]$ 连同这个集合中的多项式的加法、减法和乘法，即 $$(R[x], +, \cdot),$$
称为数环 $R$ 上的多项式环。

\end{enumerate}


\subsection{书后习题}
习题：(2.1) \#1, 2, 3.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{多项式的代数运算，使用次数进行证明。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.2)多项式的整除性}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：多项式整除，带余除法。
\item 重点：带余除法定理的证明和应用。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  什么是数域？什么时候称 $f(x)$ 整除 $g(x)$？
\item  证明整除的一些基本性质。
\item  什么是带余除法？
\item  {\color{red}定理2.2.1.} 带余除法的结果是存在且唯一确定的。即设 $f(x),g(x)\in F[x]$, 则存在唯一的一对多项式 $q(x)$ 与 $r(x)$, 使得 $f(x)=g(x)q(x)+r(x), 且 r(x)=0 \text{ 或 } \partial^0(r(x))< \partial^0(g(x))$. 

\item  {\color{red}命题2}：设有两个有理系数多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$, 如果不存在有理系数多项式 $h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$, 那么也不存在实系数多项式 $h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.1)1-6.
习题：(2.2) \#1, 4, 6.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{使用带余除法定理进行证明。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.3)多项式的最大公因式}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：最大公因式、互素的两个多项式。
\item 重点：辗转相除法、互素的充分必要条件。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  什么是公因式？什么是最大公因式？
\item  {\color{red}定理2.3.1.} 数域 $F$ 上的两个多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 一定存在最大公因式，而且任意两个最大公因式之间只相差一个零次因式。
\item  辗转相除法举例。
\item  求下述两个多项式的最大公因式：
\begin{eqnarray*}
 f(x) &=& x^4-2x^3-4x^2+4x-3, \\
 g(x) &=& 2x^3-5x^2-4x+3.
\end{eqnarray*}
\item  {\color{red}定理2.3.2.} 设 $d(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最大公因式，则存在数域 $F$ 上的多项式 $u(x),v(x)$ 使得 $$f(x)u(x) + g(x)v(x)=d(x).$$
\item  什么时候称两个多项式为互素？
\item  {\color{red}定理2.3.3.} 两个多项式 $f(x),g(x)$ 互素当且仅当存在两个多项式 $u(x),v(x)$ 使得
$$f(x)u(x)+g(x)v(x) =1. $$
\item  证明两个多项式互素的一些基本性质。

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.1)1-6.
习题：(2.3) \#1, 3, 5, 7, 10.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{计算两个多项式的最大公因式，计算充分必要条件里的两个多项式。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.4)多项式的分解}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：可约多项式，不可约多项式，典型分解式。
\item 重点：不可约多项式的基本性质，因式分解的存在性与唯一性。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  什么是一个多项式的平凡因式？什么是可约的多项式？什么是不可约的多项式？
\item  证明不可约多项式的一些基本性质。
\item  {\color{red}定理2.4.1.} 设 $F$ 是一个数域。则 $F[x]$ 中的任意 $n$ 次多项式 $(n\ge 1)$ 都能写成 $F[x]$ 中的一些不可约多项式的乘积。
\item   {\color{red}定理2.4.2.} 设 $F$ 是一个数域。设 $f(x)\in F[x]$ 是任意一个 $n$ 次多项式，$n\ge 1$. 若有两个不可约因式分解
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& p_1(x)p_2(x)\cdots p_r(x) \\
&=& q_1(x)q_2(x)\cdots q_s(x).
\end{eqnarray*}
则 $r=s$, 且存在指标集 $\{1,2,\cdots,r\}$ 的一个置换 $\sigma$, 以及一些非零系数 $c_1,c_2,\cdots,c_r$, 使得
$$q_i(x) = c_ip_{\sigma(i)}(x),\quad i=1,2,\cdots,r.$$
\item  什么是典型分解式？

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.1)1-6.
习题：(2.4) \#1, 2, 3, 4.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{证明数域上的一元多项式的因式分解的存在性和唯一性。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.5)重因式}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：单因式，重因式，多项式的导数多项式。
\item 重点：判断一个多项式是否存在重因式。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  什么是单因式？什么是重因式？
\item  什么是一个多项式的导数多项式？
\item  证明多项式的导数运算有线性性质、莱布尼兹公式、幂求导公式。
\item  {\color{red}定理2.5.1.} 设 $p(x)$ 是一个不可约多项式。
    \begin{enumerate}
    \item  若 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的一个 $2$ 重因式，则 $p(x)$ 是 $f\,'(x)$ 的单因式。
    \item  若 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的一个 $k$ 重因式$(k\ge 3)$, 则 $p(x)$ 是 $f\,'(x)$ 的 $k-1$ 重因式。
    \end{enumerate}
\item  {\color{red}定理2.5.2.} 多项式 $f(x)$ 没有重因式的充分必要条件是 $f(x)$ 与 $f\,'(x)$ 互素。
\item  用辗转相除法计算 $f(x)$ 与 $f\,'(x)$ 的最大公因式。

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.1)1-6.
习题：(2.5) \#1, 2, 3, 4, 5.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{用辗转相除法判断一个多项式是否存在重因式。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.6)多项式函数、多项式的根}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：多项式函数，多项式的根。
\item 重点：余式定理，综合除法和长除法。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  如何把一个多项式看作一个函数？
\item  {\color{red}定理2.6.1.} 设 $R$ 是一个数环，设 $f(x)\in R[x]$, 设 $c\in R$. 则 $f(x)$ 除以 $(x-c)$ 得到的余式正好是多项式函数 $f(x)$ 在 $x=c$ 时的函数值 $f(c)$.
\item  什么是综合除法？什么是长除法？
\item  例1：用 $x+3$ 除 $f(x)=x^4+x^2+4x-9$.
\item  什么是多项式的根？
\item  {\color{red}定理2.6.2.} 数 $c$ 是多项式 $f(x)$ 的根的充分必要条件是 $f(x)$ 能被 $x-c$ 整除。
\item  {\color{red}定理2.6.3.} 设 $f(x)$ 是 $R[x]$ 中的一个 $n$ 次多项式，$(n\ge 0)$, 则 $f(x)$ 在 $R$ 中至多有 $n$ 个根。
\item  {\color{red}定理2.6.4.} 设 $f(x),g(x)\in R[x]$ 是两个次数都小于等于 $n$ 的多项式。设存在 $n+1$ 个不同的数 $c_1,c_2,\cdots,c_{n+1}\in R$
使得 $$f(c_i)=g(c_i),\,\, i=1,2,\cdots, n+1, $$ 则 $f(x)=g(x)$, 即这是两个相同的多项式。
\item  {\color{red}定理2.6.5.} 设 $f(x),g(x)\in R[x]$ 是两个多项式。则它们是同一个多项式当且仅当它们作为 $R\to R$ 的函数是同一个函数。
\item  什么是拉格朗日插值公式？
\item  给定互不相同的三个数 $a_1, a_2, a_3$ 以及任意的 $b_1,b_2,b_3$, 求次数不超过2的多项式 $f(x)$ 使得 $$f(a_i)=b_i,\quad i=1,2,3.$$
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.1)1-6.
习题：(2.6) \#1, 2, 3, 5, 8.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{学会使用综合除法求多项式函数的函数值。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.7)复数和实数域上的多项式}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：复数域和实数域上的不可约多项式，求根公式。
\item 重点：代数基本定理，韦达定理。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  什么是复数域？什么是代数基本定理？
\item  {\color{red}定理2.7.2.} 任意 $n\,\, (n\ge 1)$ 次多项式在复数范围内有 $n$ 个根，重根按重数计算。
\item  什么是韦达定理？
\item  {\color{red}定理2.7.3.} 设 $f(x)\in \mathbb{R}[x]$ 是一个实系数多项式。设 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的一个非实数的复数根，则它的共轭 $\overline{\alpha}$ 也是 $f(x)$ 的根。 即实系数多项式的复根是成对出现的。
\item  实数域上不可约多项式有哪些？
\item  {\color{red}定理2.7.5.} 每个次数大于等于1的实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
习题：(2.7) \#1, 2, 3, 4, 5.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{在实数域和复数域上分解因式，使用韦达定理进行证明。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(2.8)有理数域上的多项式}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：有理系数多项式与整系数多项式。
\item 重点：高斯引理，Eisentein判别法，整系数多项式的有理根。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item  将有理系数多项式写成一个有理数与一个整系数多项式的乘积的形式。
\item  {\color{red}引理2.8.1.}(高斯引理) 两个本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式。
\item  {\color{red}定理2.8.1. }如果一个整系数多项式在有理数域上可约，那么它也能写成两个次数较低的整系数多项式的乘积。
\item  {\color{red}定理2.8.2.(Eisenstein判别法)} 设 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 是一个整系数多项式。设存在一个素数 $p$ 使得
$$p\nmid a_n, \quad p\mid a_{n-1},\cdots, p\mid a_1,\quad p\mid a_0,\quad p^2\nmid a_0, $$  
那么这个多项式在有理系数范围内是不可约的。
\item  例子：判断下述分圆多项式 在有理数域上是否可约，$$f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$$
\item  什么是有理根？
\item  {\color{red}定理2.8.3.} 设有整系数多项式 $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$, 若有理数 $\frac{u}{v}$ 是 $f(x)$ 的一个根，其中 $u,v$ 为互素的整数，则
    \begin{enumerate}
    \item  $v\mid a_0, \quad u\mid a_n$.
    \item  $f(x)=(vx-u)g(x)$, 其中 $g(x)$ 是一个整系数多项式。
    \end{enumerate}
\item  例子：求多项式 $f(x)=3x^4+5x^3+x^2+5x-2$ 的有理根。

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.1)1-6.
习题：(2.8) \#1, 2, 3, 4.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{使用Eisenstein判别法判断有理数域上的不可约多项式，计算有理根。}}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(7.1)线性映射}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：线性映射，线性映射的像，线性映射的核。
\item 重点：理解线性映射的一些例子与基本性质。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 定义1: 设 $V$ 和 $W$ 是数域 $F$ 上的两个向量空间，一个映射 $f:V\to W$ 什么时候称为是一个{\color{red}线性映射}？

\item 线性映射的例子。
\begin{enumerate}
\item 例子1: 定义映射 $\sigma: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ 如下，证明 $\sigma$ 是一个线性映射：
$$\sigma((x_1,x_2))=(x_1,x_1-x_2,x_1+x_2).$$

\item 例子2: 立体空间到一个过原点的平面的投影，验证这是一个线性映射。
\item 例子3: 一个数域 $F^n$ 上的 $m\times n$ 矩阵定义了从 $F^n$ 到 $F^m$ 的一个线性映射。
\item 例子4: 零映射是一个线性映射。
\item 例子5: 位似是一个线性映射。
\item 例子6: $F^n$ 上的线性型是一个线性映射。
\item 例子7: $F[x]$ 上的导数运算是一个线性映射。
\item 例子8: 设 $C[a,b]$ 是区间 $[a,b]$ 上的实值连续函数全体组成的实向量空间。  下述积分运算是一个线性映射： 
\begin{eqnarray*}
C[a,b] &\to& C[a,b], \\
f(x) &\mapsto& \int_a^x f(t)dt.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
 
 \item 定义：设 $f:V\to W$ 是一个线性映射。设 $V_1$ 是 $V$ 的子空间，则{\color{red}像集} $f(V_1)$ 是什么含义？%证明这个像集是 $W$ 的一个子空间。 
 \item 定义：设 $f:V\to W$ 是一个线性映射。设 $W_1$ 是 $W$ 的子空间，则{\color{red}原像} $f^{-1}(W_1)$ 是什么含义？%证明这个原像是 $V$ 的一个子空间。 
\item 定理7.1.1. 线性映射的子空间的像与原像都是子空间。
\item 概念：线性映射的{\color{red}像}与{\color{red}核}，分别指的是什么？
\item 定理7.1.2. 线性映射是满射当且仅当像是全空间，线性映射是单射当且仅当核是零空间。

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.1)1-6.
习题：(7.1) \#1, 3, 4.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{验证两个向量空间之间的映射是否为线性映射。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(7.2)线性变换的运算}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：线性变换，单位变换，逆变换。
\item 重点：理解线性变换的概念，计算线性变换的三个运算：加法、减法、乘法。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 什么是{\color{red}线性变换}？
\item 设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间，记 $L(V)$ 为 $V$ 上的线性变换全体。如何定义 $L(V)$ 中的加法、数乘、与乘法？
\item 定理7.2.1. $L(V)$ 以及上述定义的加法与数乘运算，组成一个数域 $F$ 上的向量空间。
\item 释名：向量空间 $V$ 上的线性变换全体组成的集合 $L(V)$ 在上述定义的加法、数乘、与乘法运算下，称为向量空间 $V$ 上的{\color{red}线性代数}。
\item 概念：向量空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma:V\to V$ 的{\color{red}幂} $\sigma^n:V\to V$ 是怎么定义的？
\item 概念：向量空间 $V$ 上的{\color{red}单位变换} $\iota:V\to V$ 是怎么定义的？
\item 概念：线性变换 $\sigma:V\to V$ 的{\color{red}逆变换} $\sigma^{-1}:V\to V$ 是怎么定义的？

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.2)1-6. 
习题：(7.2) \#2, 4, 6. 

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{将一个线性变换代入一个多项式或有理函数，得到的变换是什么样的？}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(7.3)线性变换和矩阵}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：线性变换关于一个基的矩阵，相似矩阵。
\item 重点：构造线性变换集合与矩阵集合之间的一一对应关系。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 定义：{\color{red}线性变换关于一个基的矩阵}，是线性变换将这个基的 $n$ 个向量，变换成为另外 $n$ 个向量，仍用这个基的$n$ 个向量来线性表示，所用到的 $n^2$ 个系数组成的矩阵。
\item 定理7.3.1. 已知线性变换 $\sigma$ 关于一个基的矩阵，已知某向量 $\xi$ 关于这个基的坐标，求向量 $\sigma(\xi)$ 关于这个基的坐标。
\item 例子1: 平面空间，线性变换是旋转一个角度 $\theta$. 
\item 例子2: 向量空间的位似变换，关于任意一个基的矩阵是什么？
\item 引理7.3.1. 已知向量空间的一个基，如何构造线性变换？回答：只需确定变换将这个基变成什么。
\item 定理7.3.2. 给定数域 $F$ 上的一个 $n$ 维的向量空间 $V$, 给定一个基。如何构造 $L(V)$ 与 $M_n(F)$ 之间的一个双射，并且保持加法、数乘、和乘法运算？
\item 推论7.3.1. 上述对应中，逆变换对应逆矩阵。
\item 问题：同一个线性变换关于两个基的矩阵之间有什么联系？回答：通过过渡矩阵，形成{\color{red}相似关系}。
%\item 
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.3)1-7. 
习题：(7.3) \#1, 2, 4. 

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{计算一个线性变换在不同的基下的矩阵。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(7.4)不变子空间}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：不变子空间，线性变换在不变子空间上的限制。
\item 重点：在不变子空间的基础上，求一个基，使得线性变换的矩阵比较简单。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 定义1: 什么时候称一个子空间在一个线性变换下是一个{\color{red}不变子空间}？
\item 例子：
    \begin{enumerate}
    \item 例子1：平凡子空间。
    \item 例子2：线性变换的核空间与像空间。
    \item 例子3：位似变换的不变子空间。
    \item 例子4：立体空间的旋转，有两个非平凡的不变子空间。
    \item 多项式空间，求导运算的不变子空间。
    \end{enumerate}
\item 定义：{\color{red}线性变换在不变子空间上的限制}，得到了一个新的线性变换。
\item 什么时候线性变换关于一个基的矩阵是下述形式的分块上三角形？
$$\begin{bmatrix}A_1 & A_3 \\ O & A_2 \end{bmatrix}. $$
\item 什么时候线性变换关于一个基的矩阵是下述形式的分块对角形？
$$\begin{bmatrix}A_1 & O \\ O & A_2 \end{bmatrix}. $$
\item 例子6：立体空间的旋转，以不变子空间（一个是旋转轴，另一个是与其垂直的过原点的平面）为基础，求一个基，使这个旋转的矩阵为下述形式。如何理解旋转在这两个子空间上的限制？
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & -\cos(\theta) \\ \end{bmatrix}. $$


\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.4)1-5. 
习题：(7.4) \#2, 3, 4. 

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{验证给定的子空间是否为一个线性变换的不变子空间。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(7.5)本征值和本征向量}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念： 线性变换的本征值与本征向量，矩阵的特征值与特征向量。
\item 重点：计算矩阵的特征值与特征向量，计算线性变换的本征根和本征向量。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 定义1: 什么是线性变换的{\color{red}本征值}，什么是线性变换的属于某个本征值的{\color{red}本征向量}？
\item 例子：
    \begin{enumerate}
    \item 例子1: 立体空间，投影到某个过原点的平面。说明0和1都是本征值。属于每个本征值的本征向量是什么？
    \item 例子2: 设 $V$ 是实直线上可微分任意次的实值函数全体，求导运算是一个线性变换。说明任意实数都是这个变换的本征值。属于每个本征值的本征向量是什么？
    \item 例子3: 数域 $F$ 上的以 $x$ 为未知数的一元多项式全体组成的向量空间，线性变换为乘以 $x$. 说明这个线性变换没有本征值。
    \end{enumerate}
\item 问题：如何计算一个线性变换的本征值？\\ 回答：确定一个基，写出线性变换在这个基下的矩阵 $A$, 求出下述特征多项式的根，
$$f_A(x)=\det(xE-A).$$
\item 证明：相似的矩阵有相同的特征多项式。
\item 定理7.5.1. 本征值正好就是特征多项式的根。
\item 例子4: 求二阶矩阵的特征多项式。
\item 概念：矩阵的{\color{red}特征根}，矩阵的属于某特征根的{\color{red}特征向量}。
\item 例子5: 已知三维向量空间的一个线性变换关于一个基的矩阵。求该线性变换的本征值和本征向量。
\item 例子6: 求一个三阶矩阵的特征根和相应的特征向量。
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.5)1-9. 
习题：(7.5) \#1, 3, 7. 

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{计算一个矩阵的特征值和特征向量，计算一个线性变换的本征值和本征向量。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(7.6)可以对角化的矩阵}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：可以对角化的线性变换，可以对角化的矩阵，本征子空间。
\item 重点：将一个矩阵对角化。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 称向量空间 $V$ 上的一个线性变换 $\sigma$ 可以{\color{red}对角化}，是指什么？
\item 称数域 $F$ 上的一个矩阵 $A$ 可以{\color{red}对角化}，是指什么？
\item 定理7.6.1. 线性变换的属于互不相同的本征值的本征向量线性无关。
\item 推论7.6.1. 设线性变换 $\sigma$ 有互不相同的本征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_t$. 对 $1\le i\le t$, 设 $\{\xi_{i1},\cdots,\xi_{is_i}\}$ 是属于 $\lambda_i$ 的线性无关的本征向量。则这些本征向量组成的向量组也线性无关：
$$\{\xi_{11},\cdots,\xi_{1s_1},\cdots, \xi_{t1},\cdots,\xi_{ts_t}\}.$$ 

\item 推论7.6.2. $n$ 维向量空间上的线性变换，如果其特征多项式有 $n$ 个单根，那么这个线性变换可以对角化。
\item 推论7.6.3. 一个 $n$ 阶矩阵如果其特征多项式有 $n$ 个单根，那么这个矩阵可以对角化。
\item 概念：属于本征值 $\lambda$ 的{\color{red}本征子空间} $V_\lambda$ 指的是什么？ 
\item 定理7.6.2. 数域 $F$ 上的有限维向量空间上的线性变换可以对角化的充分必要条件是下述两个条件同时成立：
    \begin{enumerate}
    \item 该线性变换的特征多项式的根都在数域 $F$ 中；
    \item 每个本征值的重数都等于属于这个本征值的本征子空间的维数。
    \end{enumerate}
\item 推论7.6.4. 写出一个矩阵可以对角化的充分必要条件。
\item 例子1: 找出一个不能对角化的二阶矩阵。
\item 例子2: 将一个三阶矩阵对角化：
$$A=\begin{bmatrix}3&2&-1 \\ -2 & -2 & 2 \\ 3 & 6 & -1 \end{bmatrix}.$$
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(7.6)1-6. 
习题：(7.6) \#1, 2, 5. 

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{将给定矩阵相似于对角阵，给定线性变换求一个基使得该线性变换表示成对角阵。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(8.1)向量的内积}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：内积，欧氏空间，长度，夹角，正交，距离。
\item 重点：理解欧氏空间的概念，计算向量的长度与夹角，证明柯西不等式。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 例子：立体空间中，向量的长度和夹角都可以由向量的{\color{red}内积}来定义。
\item 定义1: 什么是{\color{red}欧几里得空间}？
\item 例子：
    \begin{enumerate}
    \item 例子1: $\mathbb{R}^n$ 的第一个内积。
    \item 例子2: $\mathbb{R}^n$ 的第二个内积。
    \item 例子3: 函数空间 $C[a,b]$ 中的内积。
    \item 例子4: 平方收敛的实数序列组成的向量空间，定义一个内积。希尔伯特空间。
    \item 例子5: $\mathbb{R}^n$ 中的向量的长度。
    \item 例子6: $\mathbb{R}^n$ 中的柯西不等式。
    \item 例子7: $C[a,b]$ 中的柯西不等式，也称施瓦茨不等式。
    \end{enumerate}
\item 内积的基本性质：零向量，分配律、数乘。
\item 定义2: 欧氏空间中一个{\color{red}向量的长度}。
\item 定理8.1.1. 柯西不等式：$\langle\xi,\eta\rangle \le \langle\xi,\xi\rangle \langle\eta,\eta\rangle$.
\item 定义3: 欧氏空间中的{\color{red}两个向量的夹角}。
\item 定义4: 欧氏空间中两个向量称为相互{\color{red}正交}，是指什么？
\item 定理8.1.2. 若某向量与一组向量都正交，则与这组向量的线性组合也正交。
\item 欧氏空间中的三角不等式。
\item 欧氏空间中的两个向量的{\color{red}距离}。
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(8.1)1-9.
习题：(8.1) \#1, 2, 5.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{计算欧氏空间中的向量之间的距离和夹角，验证柯西不等式。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(8.2)正交基}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：正交基，规范正交基，正交补空间，正交矩阵，同构的欧氏空间。
\item 重点：理解规范正交基和正交矩阵的联系，掌握向量组的正交化方法，计算正射影。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 定义1: 什么是欧氏空间中的一个{\color{red}正交组}？什么是一个{\color{red}规范正交组}？
\item 例子：
    \begin{enumerate}
    \item 例子1: 找出 $\mathbb{R}^3$ 的一个规范正交组。
    \item 例子2: 找出欧氏空间 $C[0,2\pi]$ 的一个正交组。
    \item 例子3: $\mathbb{R}^n$ 的标准基是一个规范正交基。
    \item 例子4: 将 $\mathbb{R}^3$ 中的三个向量进行正交化和规范化。
    \item 例子5: $C[0,2\pi]$ 中的正射影：傅立叶展开。
    \end{enumerate}

\item 定理8.2.1. 欧氏空间的正交组是线性无关的。
\item 概念：什么是欧氏空间的一个{\color{red}正交基}？{\color{red}规范正交基}？
\item 求任意向量关于一个规范正交基的坐标。
\item 定理8.2.2. 如何从一个线性无关的向量组出发，得到一个正交组？回答：斯密特正交化方法。
\item 定理8.2.3. 欧氏空间一定有规范正交基。
\item 定理8.2.4. 将欧氏空间中的向量正交投影到一个有限维子空间里。
\item 概念：什么是欧氏空间的一个子空间的{\color{red}正交补空间}？
\item 定理8.2.5. 欧氏空间中的正射影的性质：一个向量到它在一个子空间的正射影的距离，是这个向量到这个子空间的任意向量的距离中最短的。
\item 定义2：什么是{\color{red}正交矩阵}？
\item 定理8.2.6. 欧氏空间中的两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。
\item 定义3: 两个欧氏空间称为是{\color{red}同构}的，是指什么？
\item 定理8.2.7. 两个欧氏空间同构当且仅当它们的维数相同。
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(8.2)1-12. 
习题：(8.2) \#1, 2, 7. 

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{从一个向量组出发用斯密特正交化方法得到一个规范正交基。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(8.3)正交变换}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：正交变换，正交矩阵。
\item 重点：证明线性变换成为正交变换的几个充分必要条件。熟悉二阶和三阶的例子。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 定义1: 一个欧氏空间上的线性变换，什么时候称为是一个{\color{red}正交变换}？
\item 定义：一个 $n$ 阶实数矩阵，什么时候称为是一个{\color{red}正交矩阵}？

\item 例子：
    \begin{enumerate}
    \item 例子1: 平面空间，旋转一个角度。
    \item 例子2: 立体空间，关于过原点的一个平面的反射。
    \item 例子3: 平面空间，旋转一个角度，求在任意一个规范正交基下的矩阵。
    \item 平面旋转：写出所有的二阶的正交矩阵。
    \item 立体旋转与反射：写出一些三阶的正交矩阵。
    \end{enumerate}

\item 定理8.3.1. 一个线性变换是正交变换的充分必要条件是该线性变换保持内积。
\item 定理8.3.2. 一个线性变换是正交变换的充分必要条件是把一个规范正交基变成规范正交基。
\item 定理8.3.3. 一个线性变换是正交变换的充分必要条件是在一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵。

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(8.3)1-8.
习题：(8.3) \#1, 3, 5.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{写出平面空间和立体空间中绕轴旋转和按给定平面反射对应的正交矩阵。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{comment}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(8.4)对称变换和对称矩阵}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：对称变换，正交相似。
\item 重点：证明线性变换成为对称变换的几个充分必要条件。将实对称阵正交相似于对角阵。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 引理1. 设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，设 $\sigma:V\to V$ 是一个线性变换。则下述两个条件是等价的：
\begin{enumerate}
\item  存在一个正交基，使得 $\sigma$ 在这个基下的矩阵是对角阵。%那么 $\sigma$ 必须满足什么条件？
\item  线性变换 $\sigma$ 的一些本征向量能够组成 $V$ 的一个正交基。
\end{enumerate}

\item 引理2. 如果 $\sigma$ 在某个正交基下的矩阵是对角阵，那么对任意的 $\xi,\eta\in V$, 都有 
$$\langle \sigma(\xi),\eta \rangle = \langle \xi, \sigma(\eta)\rangle.$$

\item 定义：欧氏空间上的一个线性变换 $\sigma:V\to V$ 称为是{\color{red}对称变换}，如果对任意的 $\xi,\eta\in V$ 都有 
$$\langle \sigma(\xi),\eta \rangle = \langle \xi, \sigma(\eta)\rangle.$$

\item 定义：两个 $n$ 阶实数矩阵 $A$ 与 $B$ 称为{\color{red}正交相似}，如果存在一个正交矩阵 $P$, 使得 $$B=P^{-1}AP.$$

\item 定理8.4.1. 对称变换在任意一个规范正交基下的矩阵一定是对称阵。
\item 定理8.4.2. 如果线性变换在某个规范正交基下的矩阵是对称阵，那么这个线性变换是对称变换。
\item 定理8.4.3. 实对称阵的特征值都是实数。
\item 定理8.4.4. 对称变换的属于不同本征值的本征向量相互正交。
\item 定理8.4.5. 对称变换在某个规范正交基下的矩阵是实对角阵。
\item 定理8.4.6. 实对称阵一定{\color{red}正交相似}于实对角阵。
\item 例子1. 设矩阵 $A=\begin{pmatrix} 4&2&2 \\ 2&4&2 \\ 2&2&4 \end{pmatrix}$, 求正交矩阵 $U$ 使得 $U^TAU$ 为对角阵。
（这种题目一定要会做）
%\item 

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(8.4)1-6. 
习题：(8.4) \# 1, 2, 6. 

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{将实对称阵正交相似于对角阵。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{comment}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(9.1)二次型和对称矩阵}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：二次型，二次型的等价关系，对称矩阵的合同关系。
\item 重点：将二次型通过变量的线性变换化为标准型。将对称矩阵通过初等变换化为对角阵。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 定义1: 数域 $F$ 上的一个 $n$ 元{\color{red}二次型}，指的是什么？
\item 问题：如何将一个二次型写成矩阵乘法的形式？
\item 定理9.1.1. 如果将二次型的变量进行线性变换，二次型的矩阵将发生怎样的变化？ 
\item 定义2: 两个对称矩阵称为相互{\color{red}合同}，指的是什么？
\item 命题：矩阵的合同关系有自反性、对称性、和传递性。
\item 定义：数域 $F$ 上的两个二次型称为是{\color{red}等价}的，指的是什么？
\item 定理9.1.2. 数域 $F$ 上的两个二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵是合同的。
\item 例子：平面二次曲线与二次型。
\item 定理9.1.3. 数域 $F$ 上的对称矩阵都能合同于对角矩阵。
\item 例子1: 将一个四阶的对称矩阵，通过行与列的初等变换，化成对角阵。
\item 定理9.1.4. 数域 $F$ 上的二次型，都可以通过变量的非奇异线性变换，化为平方和的形式。
\item 例子：将二次型 $q=3x_2^2+12x_3^2+6x_1x_4-12x_2x_3-8x_3x_4$ 化为平方和的形式。
%\item 

\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(9.1)1-4.
习题：(9.1) \#2, 3, 4.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{将一个一般数域上的二次型，分别通过配方法和初等变换法，化成平方和的形式。}}
\end{center}
 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(9.2)复数域和实数域上的二次型}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：二次型的秩，正惯性指数，负惯性指数，符号差。
\item 重点：分别在实数域和复数域上，判断两个二次型是否相互等价。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 概念：什么是{\color{red}二次型的秩}？什么是二次型的{\color{red}典范形式}？
\item 定理9.2.1. 
\begin{enumerate}
\item 复数域上两个二次型等价的充分必要条件是它们的秩相同。
\item 复数域上两个对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相同。
\end{enumerate}

\item 定理9.2.2. 实数域上的对称矩阵都合同于对角阵 $\textrm{diag}\{E_p,-E_{r-p},O\}$.
\item 定理9.2.3. 实数域上的二次型都等价于二次型 $x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2$. 
\item 定理9.2.4. （惯性定理）实数域上的一个二次型，如果等价于两个典范形式，那么这两个典范形式的正惯性指数是一样的。
\item 定义：什么是一个实二次型的{\color{red}正惯性指数}、{\color{red}负惯性指数}、和{\color{red}符号差}？
\item 定理9.2.5. 实数域上两个 $n$ 元二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差。
\item 推论9.2.1. 实数域上的 $n$ 元二次型在等价关系下，可以分成多少类？
%\item 
%\item 
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(9.2)1-8.
习题：(9.2) \#1, 5, 6.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{分别用配方法和初等变换法计算一个实二次型的秩与符号差。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(9.3)正定二次型}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：正定二次型，正定矩阵，顺序主子式。
\item 重点：给出并证明实二次型正定的两个充分必要条件。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 概念：一个实二次型，什么时候称为是一个{\color{red}正定二次型}？
\item 概念：一个实对称阵，什么时候称为是一个{\color{red}正定矩阵}？
\item 定理9.3.1. 一个实数域上的 $n$ 元二次型是正定二次型的充分必要条件是它的秩和符号差都是 $n$.
\item 概念：实对称矩阵的 $k$ 阶{\color{red}顺序主子式}。
\item 定理9.3.2. 实二次型的正定的充分必要条件是它的一切顺序主子式的值都大于零。
\item 例子：判断一个实二次型是不是正定的。
%\item 
%\item 
%\item 
%\item 
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(9.3)1-6.
习题：(9.3) \#1, 2, 3.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{计算顺序主子式来判断一个实二次型或实对称阵是否正定。}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{(9.4)主轴问题}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概念：变量的正交变换，正交矩阵。
\item 重点：求变量的正交变换，将实二次型化为平方和的形式。将实对称阵正交相似于对角阵。
\end{itemize}

\subsection{内容讲解}
\begin{enumerate}
\item 概念：什么是一组变量 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的{\color{red}正交变换}？
\item 概念：一个 $n$ 阶实数矩阵，什么时候称为是一个{\color{red}正交矩阵}？
\item 解析几何中的问题：选取新的直角坐标系，将二次曲线或二次曲面的方程写为标准形式。
\item 定理9.4.1. 实二次型都可以通过变量的正交变换化为平方和的形式。
\item 定理：实对称阵都可以通过正交矩阵合同于对角阵，对角线元素为该实对称阵的特征值。
\item 推论9.4.1. 设有实二次型 $q=X^TAX$, 其中 $A$ 是实对称阵，则
    \begin{enumerate}
    \item 该二次型的秩等于矩阵 $A$ 的非零特征值的个数。
    \item 该二次型的符号差等于矩阵 $A$ 的正特征值的个数减去负特征值的个数。
    \item 该二次型是正定的充分必要条件是矩阵 $A$ 的特征值都是正的。 
    \end{enumerate}
\item 例子：设 $A$ 是一个三阶的实对称阵，求正交矩阵 $U$, 使得 $U^TAU$ 为对角矩阵。
%\item 
%\item 
\end{enumerate}

\subsection{书后习题}
%习题：(9.4)1-3.
习题：(9.4) \#1, 2, 3.

\subsection{必须会算}
\begin{center}
{\color{red}\boxed{给定立体空间的一个二次曲面方程，找到变量的平移和正交变换，将曲面写成标准方程。}}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




